Tessellations of random maps of arbitrary genus (Mosäıques sur des cartes aléatoires en genre arbitraire)

We investigate Voronoi-like tessellations of bipartite quadrangulations on surfaces of arbitrary genus, by using a natural generalization of a bijection of Marcus and Schaeffer allowing one to encode such structures by labeled maps with a fixed number of faces. We investigate the scaling limits of the latter. Applications include asymptotic enumeration results for quadrangulations, and typical metric properties of randomly sampled quadrangulations. In particular, we show that scaling limits of these random quadrangulations are such that almost every pair of points are linked by a unique geodesic. Nous examinons les propriétés de mosäıques de type Voronoi sur des quadrangulations biparties de genre arbitraire. Ceci est rendu possible par une généralisation naturelle d’une bijection de Marcus et Schaeffer, permettant de décrire ces mosäıques par des cartes étiquetées avec un nombre fixé de faces, dont nous déterminons les limites d’échelle. Parmi les applications de ces résultats, figurent le comptage asymptotique des quadrangulations, ainsi que des propriétés métriques typiques de quadrangulations choisies au hasard. En particulier, nous montrons que les limites d’échelles de quadrangulations aléatoires sont telles que presque toute paire de points est liée par un unique chemin géodésique.